المتتالية الحسابية

 المتتاليات والمتسلسلات الحسابية :ARITHMETIC  PROGRESSION

اتفق مقاول أن يحفر بئرا عمقه 6 أمتار على أن يتقاضى مبلغا قدره 50 ريالا عن أول قدم يحفره ، 75 ريالا عن القدم الثاني ، 100 ريالا عن القدم الثالث . . . وهكذا

يريد صاحب البئر معرفة كم يكلفه حفر المتر السادس من البئر ،/ وكم يكلفه حفر البئر كله .

كتب صاحب البئر الاجرة التي سيدفعها للمقاول عن كل متر يحفره مستخدما النمط السابق نفسه وهو زيادة منتظمة قدرها 25 ريالا  ، فكتب المتتالية :50 ، 75 ، 100 ، 125 ، 150 ، 175.

استنتج صاحب البئر أن المتر السادس يكلفه 175 ، وأن تكاليف حفر البئر كله هي :

50 + 75 + 100 + 125 + 150 + 175 = 675 ريالا.

تسمى المتتالية : 50 ، 75 ، 100 ، 125 ، 150 ، 175  متتالية حسابية .

تعريف : المتتالية الحسابية هي متتالية التي يكون فيها الفرق بين كل حدين متتالين مقدرا ثابتا يسمى الفرق الثابت بين أي حد والحد السابق له مباشرة أساس المتتالية.

مثال :

 ميز المتتاليات أو المتسلسلات الحسابية من غيرها فيما يلي :

1) 3 ، 5 ، 7 ، . . . ، 31                               2) 1 + 1/2 + 1/3 + . . . + 1 /20

3) متتالية الأعداد الأولية                                 4) r + 7 ) ∑

                                                                                 r=1

الحل :

1) المتتالية 3 ، 5 ، 7 ، . . . ، 31 حسابية لأن أساسها ثابت حيث 5 – 3 = 2 ، 7 – 5 = 2

2) المتسلسلة 1 + 1/2 + 1/3 + . . . + 1 /20  ليست حسابية لأن

 أساسها غير ثابت حيث 1 / 2 – 1 = - 1 / 2  ، بينما 1/3 – 1/2 = - 1/6

3) متتالية الأعداد الأولية : 2 ،3 ، 5 ، 7 ، . . . ليست حسابية لأن 3 – 2 = 1

 بينما 5 – 3= 2 فأساسها غير ثابت

4) (r + 7 ) ∑       = (1+7) + (2+7 ) + (3+7 ) + ( 4 + 7) + . . . + ( 10+ 7)

                          = 8 +9+10+. . . +17

فهي متسلسلة حسابية لأن أساسها ثابت حيث 9 - 8= 10 - 9 = 1      

الحد العام للمتتالية الحسابية:

لنأخذ المتتالية الحسابية : 3 ، 7 ، 11 ، 15 ،19، 23 ، 27 التي أساسها 4 ونلاحظ النمط التالي:

الحد الثاني 7 = 3 + 4×1 = 3 + ( 2 – 1 )×4 = u₂

الحد الثالث 11 = 3 + 4× 2 = 3 (3 – 1 ) × 4 = u₃

§                

§                                

الحد السابع 27 = 3 + 6 × 4 = 3 + (7 – 1 ) × 4 = u₇

لاحظ أن كل حد = العدد 3 (الحد الأول )  + ( رتبة الحد – 1 ) × الأساس وهذا ينطبق أيضا على الحد الأول ،تحقق من ذلك.

بشكل العام : إذا كان الحد الاول لمتتالية حسابية هو a وأساسها d  فإن الحد الثاني =  a+ d ، الحد الثالث = a + d2 والحد العاشر = a+ 9d ،وهكذا . . . ويكون الحد العام ( الحد النوني ) هو

الحد العام لأي متتالية حسابية حدها الأول وأساسها d هو  d ( n– 1 ) + a = un

  ( n– 1 ) d = a = u_n

مثال :

 أوجد الحد الخامس في المتتالية الحسابية التي حدها الأول 2 وأساسها 5. تحقق بكتابة الحدود الخمسة الأولى من المتتالية.

الحل :

2=  a،  5 = d

  a+ ( n – 1 ) n= u_n

2 + (5 – 1 ) ×5= u₅

22= 2 + 4× 5  = u

التحقق : المتتالية هي 2 ، 7 ، 12 ، 17 ، 22

الحد الخامس = 22 ، النتيجة صحيحة.

الأوساط الحسابية:ARITHMETIC MEAN

بشكل عام : يمكن إدخال وسط حسابي بين العددين a ، b فيكون هذا الوسط = a + b / 2 وتشكل الأعداد  a ،a + b /2 ، b متتالية حسابية. وإذا كان a ، b عددين فإنه يمكننا ادخال عدة  اعداد كاوساط حسابية هي : x1 ، x2 ، x 2 ، . . . ، xn بين العددين a ، b لأن كلا منها يكون وسطا حسابيا للعددين المجاورين له في المتتالية.

إذا أخذنا ثلاثة حدود متتالية من متتالية حسابية فإن الحد الأوسط منها يكون وسطا حسابيا للحدين الآخرين، ففي المتتالية الحسابية : 5 ، 9 ، 13 ، 17 نلاحظ أن العدد 9 هو الوسط الحسابي للعددين المجاورين 5 ، 13 لأن 9 = 5 = 13  / 2 كما أن العدد 13 هو الحسابي للعددين المجاورين 9، 17.

مثال:

 أدخل 4 أوساط حسابية بين العددين 4 ،  29

الحل : عند ادخال 4 أوساط حسابية بين 4 ، 29 تصبح المتتالية على النحو : 4 ، x 1 ،x2 ، x3، x4 ،29

وتكون  4= a،  29 = u₆

  a + d 5 = u₆

29= 4 + 5 × d

20= 5d          d = 5

تصبح المتتالية الحسابية : 4 ، 9 ، 14 ، 19 ، 24 ، 29 وتكون الاوساط هي 9 ،14 ، 19 ، 24