المتتالية الهندسية

المتتاليات والمتسلسلات الهندسية

GEOMETRIC SEQUENCE AND SERIES

تعريف : المتتالية الهندسية هي المتتالية التي يكون فيها النسبة بين كل حد والحد السابق له مباشرة نسبة ثابتة . النسبة الثابتة تسمى أساس المتتالية الهندسية .

قاعدة :       إذا كان الحد الأول من المتتالية هندسية a وأساسها r فإن الحد العام  للمتتالية الهندسية هو :   r 1 - aN = un

الحد العام للمتتالية الهندسية

مثال:

 ما ترتيب الحد الذي قيمته 1215 من حدود المتتالية الهندسية: 5 ، 15 ، 45 ،. . . ؟

الحل :

نفرض أن الحد الذي قيمته 1215 هو u_n حيث a = 5 ، r = 3

1215 = ^1-arⁿ   =  u_n

1215 = 5× 3^n-1   ( بالقسمة على 5 )

234 = 3^{n- 1}  اذن   n – 1 = 5 لأنه إذا تساوت الأساسات تساوت الأسس

                           n = 6

الحد الذي قيمته 1215 هو الحد السادس

الأوساط الهندسية:GEOMETRIC MEAN 

تعريف: الوسط الهندسي للعددين a ، b هو ذلك العدد cبحيث تكون a ، c ، b متتالية هندسية.

مثال : ما هو الوسط الهندسي  للعددين 4 ، 9

الحل :  نفرض أن الوسط الهندسي للعددين 4 ، c ،9

من التعريف تكون 4 ، c ، 9 متتالية الهندسية ويكون c / 4 = 9 / c

                                                                   c2 = 36 =          c=± 6

إذن يوجد وسطان هندسيان للعددين 4 ، 9 ، هما 6 ، فتكون لدينا متتاليان إحداهما : 4 ، 6 ، 9 والأخرى : 4 ، -6 ، 9

لاحظ أن 6 =   4 × 9

بشكل عام : إذا كان c هو الوسط الهندسي للعددين a ، b فإن c2 =  ab