المتسلسة الهندسية

مجموع المتسلسلة الهندسية:SUM OF GEOMETRIC SERIES

قاعدة مجموع أول n من حدود متسلسلة هندسية حدها الأول a وأساسها r هو :  حيث r ≠ 1

لاحظ أنه إذا كانت  1 = r فإننا لا نستطيع تطبيق القاعدة المذكورة أعلاه ولكن المتسلسلة الهندسية تصبح :

a+ a + a + . . . = a ∑ = n a

مثال ( 1 ) :

 أوجد مجموع الحدود الستة الأولى من حدود المتسلسلة الهندسية : 3 + 6 + 12 + . . .

الحل :

  3= a،  2 = r

c = 3 ( 2 ⁶– 1 ) / 2 – 1 = 3 ( 64 – 1 )  / 1 = 3 × 63 = 189

مثال ( 2 )        4

 أوجد            5^R  ∑

                        R=1

الحل :

المتسلسلة هي : 5 ¹ + 5 ²+ 5 ³+ 5 ⁴

أي أنها : 5 + 25 + 125 + 625 = 780 ، يمكن حساب المجموع باعتبار المتسلسلة متسلسلة

هندسية حدها الأول 5 وأساسها 5 فيكون مجموعها هو :

c = 5 ( 5 ⁴– 1 ) / 5 – 1 = 5 × 624 / 4 = 5 × 156 = 780

قاعدة : مجموع متسلسلة هندسية لا نهائية حدها الأول a وأساسها rهو : a/ 1 – r حيث úr÷<1.

 

 المتسلسلة الهندسية اللانهائية :

INFINITE GEOMETRIC SERIES

مثال :

  أوجد مجموع المتسلسلة 1 + 1/3 +1/9 + . . . إلى ما لا نهاية ( إن وجد ).

الحل :

المتسلسلة هندسية لا نهائية حدها = 1 ، وأساسها = 1/3

وبما أن 1/3< 1 إذن يوجد للمتسلسلة مجموع هو

c= a / 1 – r = 1 / 1-1/3  = 1 / 2/3 = 3\2

مثال  :         ∞

 أوجد ( -1/2)^r ∑

الحل :

الحد الأول من حدود المتسلسلة هو  -1/2 = (-1/2) =u

u₂= ( -1/2)²  = 1/4       ، u₃=  (-1/2)³=-1/8

حدود المتسلسلة هي : -1/2 ، 1/4 ، -1/8 ، . . . فهي متسلسلة لا نهائية.   

r = 1/4 ÷-1/2 = - 1/2 ، وبما أن | -1/2| = 1/2<1 إذن للمتسلسلة الهندسية اللانهائية

مجموع هو:

c_∞ = a/1- r = -1/2 /( 1+1/2 ) = -1/2 / 3/2 = -1/3 

يمكن استخدام مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية في بعض تطبيقات كما يتضح من المثال الآتي:

مثال (3):

 حول الكسر العشري الدوري 4,   إلى كسر عادي

الحل: إن الكسر العشري يكافئ الكسر العشري00000 444, 0

00000 444, 0 = 4/10 + 4/100 + 4/ 1000 +. . .

لاحظ أن 4/100 ÷ 4/10 = 1/10 ، 4 / 1000 ÷ 4/ 100 = 1/10

فالمتسلسلة هندسية لا نهائية أساسها r = 1/10 ،   4/10 =a

فيكون مجموعها c= a / 1- r = 4/ 10 /  1-1/10 = 4/9 ÷ 9/10 =

 4/10× 10/9 = 4/9

إذن 4,   = 4/9 . تحقق من صحة الجواب بتحويل الكسر 4/9 إلى كسر عشري