المتتاليات والمتسلسلات
المتتاليات ( المتتابعات) SEQUENCES
تواجهنا في كثير من الأحوال مجموعات من الأعداد نهتم بترتيب عناصرها بحيث يكون لدينا في كل حالة : عنصر أول ، عنصر ثان ، عنصر ثالث ، . . . نسمي كلا من الأعداد من هذه المجموعات المرتبة متتالية ( متتابعة ) تمييزا لها عن المجمعات العادية التي درسناها سابقا والتي لا أهمية للترتيب بين عناصرها.
مثال : المجموعة المرتبة : 2 ، 4 ،6 ، 8 ، . . . هي متتالية المعروفة ، متتالية الأعداد الزوجية الموجبة .
نسمي العدد 2 الحد الأول في المتتالية والعدد 4 الحد الثاني فيها ،. . . وهكذا.
مثال: المجموعة المرتبة : 1 ، 3 5 ، . . . هي متتالية الاعداد الفردية الموجبة ، حدها الأول = 1 ، وحدها الثاني = 3 ،. . . وهكذا.
الحد العام للمتتالية : GENERAL TERM OF A SEQUENCE
بوجه عام تتوالى حدود المتتالية بانتظام أي تكون هذه الحدود وفق نمط أو قاعدة معينة بحيث نستطيع معرفة اي حد في المتتالية إذا عرف ترتيب الحد . الحدالذي رتبته n يسمى النوني أو الحد العام في المتتالية ويرمز له بالرمز un.
مثال: اكتب المتتالية التي حدها العام n2 + 3 = un
الحل : للحصول على حدود المتتالية u1, u2, u3، . . . نعوض قيم n: 1 ، 2 ، 3 ، . . .
في قانون الحد العام
إذن 5 = 2 × 1 + 3 = u1
7= 2 × 2 + 3 = u2
9= 2 × 3 + 3 = u3
وتكون المتتالية هي : 5 ، 7 ، 9 ، . . .
اسئلة :
السؤال الاول :
اكتب الحد العام للمتتاليات التالية :
أ)
ب) 1 ،8 ،27 ،. . . .
ج)7 ،7 ،7 ،. . . . .
المتسلسلات ورمز المجموع SERIES AND SIGMA NOTATION
عرفنا فيما سبق أن المتتالية هي مجموعة مرتبة من الأعداد الحقيقية وفق قاعدة معينة ويفصل بين حدودها الإشارة ((،)) ولكن إذا استبدلنا إشارة ((،)) بإشارة الجمع ((+)) فإن المتتالية تسمى متسلسلة فمثلا: 2 ، 5 ، 8 ، . . . متتالية أم المجموع : 2 + 5 + 8 + . . . فيسمى متسلسلة وللتعبير عن هذا المجموع نستخدم رمزا خاصا يسمى∑ ( ويقرأ سيجما )
مثال : إذا كان = a ، = b، أوجد قيم a ، b . ما العلاقة بينهما ؟ ماذا نستنتج ؟
الحل :
30= 3 × 1 + 3 × 2 + 3 × 3 + 3 × 4 = 3 + 6 + 9 + 12 = a
10= 1 + 2 + 3 + 4 = b
نلاحظ أن B3 = a
| خواص رمز المجموع : 1) z × n = z∑، حيث n ثابت ، n z 2) (∑u)a =au∑ ، حيث a ثابت 3) (u + d) ∑= ∑ u + ∑d |
